Question

13．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）．
①若f（0）=1，则φ=$\frac{π}{6}$；
②若?x∈R，使f（x+2）-f（x）=4成立，则ω的最小值是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 ①由已知可得sinφ=$\frac{1}{2}$，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可得解φ的值．
②化简已知等式可得sin（ωx+2ω+φ）-sin（ωx+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k₁-k₂）π-$\frac{π}{2}$，k₁，k₂∈Z，结合范围ω＞0，即可得解ω的最小值．

解答 解：①∵由已知可得2sinφ=1，可得：sinφ=$\frac{1}{2}$，
∴可得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，或φ=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$．
②∵?x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]-2sin（ωx+φ）=4成立，即：sin（ωx+2ω+φ）-sin（ωx+φ）=2，
∴?x∈R，使ωx+2ω+φ=2k₁π+$\frac{π}{2}$，ωx+φ=2k₂π+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴解得：ω=k₁π-k₂π-$\frac{π}{2}$，k₁，k₂∈Z，
又∵ω＞0，|
∴ω的最小值是$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，特殊角的三角函数值的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．