Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是

 

（写出正确命题的编号）．
①总存在某内角α，使cosα≥

1

2

；
②若AsinB＞BsinA，则B＞A．
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

，则△ABC的最小角小于

π

6

；
⑤若a＜tb（0＜t≤1），则A＜tB．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,正弦定理,余弦定理

专题：阅读型,解三角形

分析：①通过讨论三角形的形状来判断；
②构造函数f（x）=

sinx

x

（0＜x＜π），应用导数求单调性，从而得到B＜A，即可判断②；
③由两角和的正切公式，推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，从而推断③；
④将

BC

=

AC

-

AB

，化简整理运用不共线结论，得到2a=b=c，再运用余弦定理求出cosA，即可判断；
⑤构造函数f（x）=tsinx-sin（tx），应用导数运用单调性得到tsinB＜sin（tB），又sinA＜tsinB，再根据和差化积公式，结合角的范围即可判断．

解答： 解：①若cosα≥

1

2

，则0＜α≤

π

3

，若△ABC为直角三角形，则必有一内角在（0，

π

3

]，若为锐角△ABC，则必有一个内角小于等于

π

3

，若为钝角三角形ABC，则必有一个内角小于

π

4

，故总存在某内角α，使cosα≥

1

2

；故①正确；
②设函数f（x）=

sinx

x

（0＜x＜π），则导数f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，若

π

2

≤x＜π，则f′（x）＜0，又AsinB＞BsinA，即

sinB

B

＞

sinA

A

⇒B＜A，若0＜x＜

π

2

，则由于tanx＞x，故f′（x）＜0，即有B＜A，故②不正确；
③在斜三角形中，由tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC＞0，即tanAtanBtanC＞0，即A，B，C均为锐角，故③不正确；
④若2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

，即2a（

AC

-

.

AB

）-b

AC

+c

AB

=

0

，即（2a-b）

AC

=（2a-c）

AB

，由于

AC

，

AB

不共线，故2a-b=2a-c=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7

8

＞

3

2

，故最小角小于

π

6

，故④正确；
⑤若a＜tb（0＜t≤1），则由正弦定理得，sinA＜tsinB，令f（x）=tsinx-sin（tx），则f′（x）=tcosx-tcos（tx），由于0＜tx＜x＜π，则cos（tx）＞cosx，即f′（x）＜0，tsinx＜sin（tx）即tsinB＜sin（tB），故有sinA＜sin（tB），即2cos

A+tB

2

sin

A-tB

2

＜0，故有A＜tB，故⑤正确．
故答案为：①④⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查正弦、余弦定理及应用，考查向量中这样一个结论：若a

OA

+b

OB

=

0

（

OA

，

OB

不共线）则a=b=0，还考查三角形中的边角关系以及构造函数应用单调性证明结论，属于综合题．