Question

设等比数列{a_n}满足公比q∈N⁺，a_n∈N⁺，且数列{a_n}中任意两项之积也是该数列的一项．若a₁=2⁴，则q的所有可能取值之和为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：依题意可求得该等比数列的通项公式a_n，设该数列中的任意两项为a_m，a_t，它们的积为a_p，求得q=2

4

p-m-t+1

，分析即可．

解答： 解：由题意，a_n=2⁴q^n-1，设该数列中的任意两项为a_m，a_t，它们的积为a_p，
则为a_m•a_t=a_p，即2⁴q^m-1•2⁴q^t-1=2⁴•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），
∴q=2

4

p-m-t+1

，
故p-m-t+1必是4的正约数，
即p-m-t+1的可能取值为1，2，4，
即

4

p-m-t+1

的可能取值为1，2，4，
∴q的所有可能取值的集合为{16，4，2}
∴q的所有可能取值之和为16+4+2=22．
故答案为：22．

点评：本题考查等比数列的通项公式，依题意求得q=2

4

p-m-t+1

是难点，分析得到p-m-t+1必是4的正约数是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．