题目内容
求证：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一条直线上，且G分
得比为2：1．
| HS |
考点：三角形五心
专题：平面向量及应用
分析：分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得
=
+
，由向量相等和向量的减法运算进行转化，得到
+
+
=
，再根据△ABC重心为G满足
+
+
=
，结合已知中
+
+
=
，我们易判断出
=3
，根据数乘向量的几何意义，即可得到S，G，H三点共线，且G分
得比为2：1．
| SH |
| SA |
| AH |
| SA |
| SB |
| SC |
| SH |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| SA |
| SB |
| SC |
| SH |
| SH |
| SG |
| HS |
解答：
解：如图：作直径BD，连接DA、DC，
由图得，
=-
，
∵H为△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，
∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，
∴
=
，
又∵
=
-
=
+
，
∴
=
+
=
+
=
+
+
，
又∵G为△ABC的重心
∴
+
+
=（
+
）+（
+
）+（
+
）=3
+
+
+
=3
+
=
，
即
=3
，
即S，G，H三点共线，且SH=3SG
即S，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一条直线上，且G分
得比为2：1．
由图得，
| SB |
| SD |
∵H为△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，
∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，
∴
| AH |
| DC |
又∵
| DC |
| SC |
| SD |
| SC |
| SB |
∴
| SH |
| SA |
| AH |
| SA |
| DC |
| SA |
| SB |
| SC |
又∵G为△ABC的重心
∴
| GA |
| GB |
| GC |
| GS |
| SA |
| GS |
| SB |
| GS |
| SC |
| GS |
| SA |
| SB |
| SC |
| GS |
| SH |
| 0 |
即
| SH |
| SG |
即S，G，H三点共线，且SH=3SG
即S，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一条直线上，且G分
| HS |
点评：本题考查的知识点是三角形的五心，其中熟练掌握向量五心的向量表达式形式，如（1）中△ABC外心为O满足|
|=|
|=|
|，（2）中△ABC重心为G满足
+
+
=
，是解答此类问题的关键．
| OA |
| OB |
| OC |
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
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已知f（x）=
，则f′（
）等于（ ）
| sinx |
| sinx+cosx |
| π |
| 4 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、-
|