Question

给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆C₁：x²＋y²＝a²＋b²为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．

    （1）求实数a，b的值；

    （2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C₁所截得的弦长为2，求实数m的值．

Answer 1

解：（1）记椭圆C的半焦距为c．

由题意，得b＝1，＝，c²＝a²＋b²，

解得a＝2，b＝1．                  

（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y²＝1，圆C₁的方程为x²＋y²＝5．

显然直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．   

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

故方程组    （*）  有且只有一组解．

由（*）得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0．

从而△＝(8km)²－4(1＋4k²)( 4m²－4)＝0．

化简，得m²＝1＋4k²．①                  

因为直线l被圆x²＋y²＝5所截得的弦长为2，

所以圆心到直线l的距离d＝＝．

即＝．    ②                   

由①②，解得k²＝2，m²＝9．          

因为m＞0，所以m＝3．