Question

17．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+b}{{2}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式，并说明函数的单调性；
（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用（0）=0，解得b，可求函数f（x）的解析式，f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，由y=2^x的单调性可推知函数的单调性；
（2）不等式f（2x+1）+f（x）＜0，转化为f（2x+1）＜f（-x），利用单调性，可得结论．

解答 解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0，解得b=-1，
从而有f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
经检验，符合题意．
因为f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
所以由y=2^x的单调性可推知f（x）在R上为增函数．
（2）因为f（x）在R上是奇函数，
从而不等式f（2x+1）+f（x）＜0可化为f（2x+1）＜-f（x），
即f（2x+1）＜f（-x），
又因f（x）是R上的增函数，
由上式推得1+2x＜-x，解得x$＜-\frac{1}{3}$．
所以不等式的解集为（-$∞，-\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．