Question

12．已知函数f（x）=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）是R上的增函数．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，进而可得满足条件的a的值；
（2）由（1）可得f（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，故f′（x）=$\frac{2•ln3•{3}^{x}}{{（3}^{x}+1）^{2}}$，由f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函数．

解答 解：（1）∵函数f（x）=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
即1-$\frac{a}{{3}^{-x}+1}$=-1+$\frac{a}{{3}^{x}+1}$，
即$\frac{a}{{3}^{x}+1}$+$\frac{a•{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$=$\frac{a（1+{3}^{x}）}{{3}^{x}+1}$=a=2，
证明：（2）由（1）得：函数f（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，
故f′（x）=$\frac{2•ln3•{3}^{x}}{{（3}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）是R上的增函数．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，导数法研究函数的单调性，函数的奇偶性，函数解析式的求法，难度中档．