Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于

2 5

5

a，其离心率e的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由题设条件知

ab

a2+b2

=

ab

c

≤

2 5

5

a，

b

c

≤

2

5

，

5

b≤2c，由此能推导出离心率e的取值范围．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为（a，0），渐近线为bx±ay=0，
由题设条件知

ab

a2+b2

=

ab

c

≤

2 5

5

a，
∴

b

c

≤

2

5

，

5

b≤2c，
∴5（a²-c²）≤4c²，
∴5a²≤9c²，∴e2≥

5

9

，∴e≥

5

3

．
故答案为：[

5

3

，+∞）．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．