Question

（本题满分16分）已知函数（）.

（1）当时，求的最小值；

（2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围；

（3）若函数在上有零点，求的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）的最小值为.

【解析】

试题分析：（1）由函数的单调性，易得函数的最小值；（2）可将问题转化为恒成立问题，进而通过换元，进一步转化为一次函数问题，通过数形结合达到解决问题的目的；（3）将函数与方程之间进行等价转化，将问题朝易于解决的方向转化，最终求出上有零点的条件，而的几何意义就是表示点到原点距离的平方，这样就可以在约束条件下，求的最小值.

试题解析：（1）当时，，显然在定义域内为增函数，.

（2）由题意可知，在上恒成立，令，则，代入得在上恒成立，即，即对恒成立，即在上恒成立，此时只需且，所以有.

（3）依题意：在上有解，

即，令，则，代入得方程在上有解，

设（），

当，即时，只需，的几何意义就是表示点到原点距离的平方，在此条件下，有；

当，即时，只需，即，即，的几何意义就是表示点到原点距离的平方，在此条件下，有. 所以的最小值为.

考点：函数与方程的综合应用.