Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M、F、O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，求AB的长度．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，）（x＞0），Q（a，b），由题意可知b=，根据点Q到准线的距离为可解p；
（Ⅱ）由点斜式可得直线方程，代入抛物线方程消掉x可得y的二次方程，利用韦达定理及抛物线定义可得即可求得|AB|．
解答：解：（Ⅰ）F抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，），
设M（x，）（x＞0），Q（a，b），
由题意可知b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+===，解得p=1，
于是抛物线C的方程为x²=2y．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为x²=2y，焦点F（0，），
则直线方程为：y=，代入抛物线方程整理得，4y²-6y+1=0，
则，
如右图所示：|AB|=|AF|+|BF|=（）+（）=（y_A+y_B）+p=+1=．
点评：本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．