Question

【题目】已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线的准线经过的左焦点.

（1）求与的方程；

（2）直线经过的上顶点且与交于，两点，直线，与分别交于点（异于点），（异于点），证明：直线的斜率为定值.

Answer 1

【答案】（1）的方程为，的方程为.（2）证明见解析

【解析】

（1）长轴长为，焦距为，在椭圆中，求出的值，写出椭圆方程；写出抛物线的准线方程，代入点坐标，求出的值，写出抛物线方程.

（2）先探究直线的斜率是否存在，写出直线方程，再与曲线方程联立求解．

（1）解：由题意，得，，所以，，所以，所以的方程为，

所以，由于的准线经过点，所以，

所以，故的方程为.

（2）证明：由题意知，的斜率存在，故设直线的方程为，

由，得.

设，，则，

即且，，.

又直线的方程为，

由得，

所以，所以，从而的坐标为.

同理可得的坐标为，

所以为定值.