Question

【题目】已知点是菱形所在平面外一点，，，

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）因为是菱形，可得 ，进而证明，在由勾股定可证明，根据线面垂直的判定定理可证平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，再利用空间向量的坐标运算公式求出二面角的余弦值.

（1）证明：设是的中点，连接，

∵是菱形，

∴，∴，

∴ ，

又

∴平面，

又平面，

∴平面平面；

（2）由（1）得，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，则

设是平面的一个法向量，

则 ，∴

令，则，

设是平面的一个法向量，

则，∴，

令，则，

∴

又二面角为钝二面角，

∴二面角的余弦值.