Question

【题目】

对函数Φ（x），定义fk（x）＝Φ（x－mk）＋nk（其中x∈（mk，m＋mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．

（1）当Φ（x）＝2x时 ①求f0（x）和fk（x）的解析式； ②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；

（2）若Φ（x）＝x2，则是否存在正整数k，使得不等式fk（x）＜（1－3k）x＋4k2＋3k－1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①

② 见详解.

（2）①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．

【解析】

解：（I）①…………2分

…………4分

②时是增函数，

的第k阶阶梯函数图象的最高点为

第k+1阶阶梯函数图象的最高点为

∴过Pk，Pk+1这两点的直线斜率为

同是可得过两点的直线斜率也为

的各阶阶梯函数图象的最高点共线．…………8分

（II）当

即

得…………9分

当k=1时，无解； …………10分

当时，由，得

…①…………11分

又由…②

…………13分

∴①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意． …………14分