题目内容
已知函数f（x），g（x）都是定义在R上的奇函数，F（x）=f（x）+g（x），且F（x）在（0，+∞）上是减函数。
（1）判断F（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）若x≥0时，F（x）=-x（x+1），求函数F（x）的解析式。
（1）判断F（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）若x≥0时，F（x）=-x（x+1），求函数F（x）的解析式。
解：（1）
都是定义在R上的奇函数，则函数
的定义域为R，
，
∴F（x）是奇函数，
设
，
是（-∞，0）上的任意两实数且
，
那么
，
∵
，且F（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴
，即
，
，
∴F（x）在（-∞，0）上是减函数。
（2）当x＜0时，有-x＞0，
，
∵F（x）是奇函数，则x＜0时，
，
∴函数F（x）的解析式为
。
都是定义在R上的奇函数，则函数的定义域为R，，∴F（x）是奇函数，
设
，是（-∞，0）上的任意两实数且， 那么
，∵
，且F（x）在（0，+∞）上是减函数，∴
，即，，∴F（x）在（-∞，0）上是减函数。
（2）当x＜0时，有-x＞0，
，∵F（x）是奇函数，则x＜0时，
，∴函数F（x）的解析式为
。 
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