题目内容

若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间 $数学公式$ 内恒有f（x）＜0，则y=f（x）的单调递增区间为________．

$\text{[math]}$
分析：由题意，可先研究t=2x²+x在区间 $\text{[math]}$ 内的取值范围，结合函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间 $\text{[math]}$ 内恒有f（x）＜0推断出a的取值范围，确定出外层函数的单调性，再令2x²+x＞0解出函数的定义域，由于内层函数是一个二次函数，找出内层函数在单调区间，由复合函数的单调性即可确定出y=f（x）的单调递增区间
解答：令t=2x²+x=2（x+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∵x∈ $\text{[math]}$ ，故有t∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
又函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间 $\text{[math]}$ 内恒有f（x）＜0
∴a∈（0，1），故函数f（x）=log_a（2x²+x）的外层函数是一个减函数
令2x²+x＞0，解得x＞0或x＜- $\text{[math]}$ ，即函数的定义域是 $\text{[math]}$ ∪（0，+∞）
由于t=2x²+x在 $\text{[math]}$ 上是一个减函数，在（0，+∞）上是一个增函数，由复合函数的单调性知，y=f（x）的单调递增区间为 $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考查对数函数的单调性，二次函数的单调性及两者复合的复合函数单调性，解题的关键是理解题意，由函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间 $\text{[math]}$ 内恒有f（x）＜0，推断出外层函数是一个减函数，熟练掌握复合函数单调性的判断方法也很关键，本题考查了推理判断能力