Question

5．已知椭圆E的中心为坐标原点，关于坐标轴对称，经过点$M（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$和$N（\sqrt{2}，1）$．A、B为椭圆的左右顶点，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：直线PQ过定点，并求定点坐标．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程，代入椭圆方程，即可求得m和n的值，求得椭圆的方程；
（2）设P点坐标，根据直线的斜率公式求得k_BP•k_BQ=-1，设直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得b=-$\frac{2}{3}$k，即可求得直线恒过定点．

解答 解：（1）设椭圆的方程为：mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{3}{2}n=1}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：设P点坐标（x，y），y²=$\frac{1}{2}$（4-x²），则A（-2，0），B（2，0），则
k_AP=$\frac{y-0}{x+2}$，k_BP=$\frac{y-0}{x-2}$，
则k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=-$\frac{1}{2}$，
由k_BQ=2k_AP，故k_BP•k_BQ=-1．
∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为-1为定值，
当直线PQ的斜率存在时，设l_PQ：y=kx+b与x轴的交点为M，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{b}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
由k_BP•k_BQ=-1，即$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，则y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
得（k²+1）x₁x₂+（kb-2）（x₁+x₂）+4+b²=0，
4k²+8kb+3b²=0，得b=-2k或b=-$\frac{2}{3}$k．y=k（x-2）或y=k（x-$\frac{2}{3}$），
所以过定点（2，0）或（$\frac{2}{3}$，0），
A（2，0）为椭圆的右顶点，舍去，
∴直线PQ过定点（$\frac{2}{3}$，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．