Question

【题目】在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由；

（3）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为上靠近的四等分点即 （3）120°

【解析】

（1）证明，得到平面，得到答案.

（2）取的中点，连接，证明得到答案.

（3）如图所示建立空间直角坐标系，计算面的一个法向量为，面的一个法向量为，计算夹角得到答案.

（1）平面，面，，

又因为，，面，平面，

而平面，平面平面

（2）存在点为上靠近的四等分点即时，平面.

取的中点，连接，是的中点，为的中点，.

面，面，平面.

为的中点，，，

面，面，平面.

，面，面平面.

面，平面.

（3）过作于，则平面，过作的平行线交于，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，面的一个法向量为

若，，，，，，，从而，，，，

面的一个法向量为，，，

则，即，即

取，则

从而，

因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小是120°.