Question

（2012•江西模拟）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新不动点”，如果函数g(x)=

1

2

x2（x∈（0，+∞）），h（x）=sinx+2cosxx∈（0，π），φ（x）=e^1-x-2的“新不动点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（　　）

A．α＜β＜γ

B．α＜γ＜β

C．γ＜α＜β

D．β＜α＜γ

Answer 1

分析：由题设中所给的定义，方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项

解答：解：由题意方程f（x）=f'（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新驻点”，x＞0
对于函数g（x）=

1

2

x2（x＞0），由于g′（x）=x，由

1

2

x2=x可得x=2，即α=2
对于函数h（x）=sinx+2cosx（0＜x＜π），
由于h′（x）=cosx-2sinx，题意可得sinx+2cosx=cosx-2sinx，即tanx=-

1

3

- 3

3

∵x∈（0，π），
∴

5π

6

＜β＜π
对于函数φ（x）=e^1-x-2，由于φ′（x）=-e^1-x，可得γ=0
综上γ＜α＜β
故选C

点评：本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出α，β，γ的值或存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，计算能力属于基本题型