题目内容

已知向量
a
=（cosθ，sinθ）和b=(
2
-sinθ，cosθ)．
（1）若
a
∥
b
，求角θ的集合；
（2）若θ∈(
5π
4
，
13π
4
)，且|
a
-
b
|=
3
，求cos(
θ
2
-
π
8
)的值．
（1）由题意知
a
∥
b
，则cosθ×cosθ-sinθ×（
2
-sinθ）=0，
∴
2
sinθ=1，sinθ=
2
2
，
∴角θ的集合={θ|θ=
π
4
+2kπ或θ=
3π
4
+2kπ，k∈Z}；
（2）由题意得，
a
-
b
=（cosθ-
2
+sinθ，sinθ-cosθ），
∴|
a
-
b
|=
(cosθ+sinθ-
2
)2+(sinθ-cosθ)2
=
4-2
2
(cosθ+sinθ)

=2
1-cos(θ-
π
4
)
=
3
，
即cos（θ-
π
4
）=
1
4
，由余弦的二倍角公式得，[cos(
θ
2
-
π
8
)] 2=
cos(θ-
π
4
)+1
2
  ①，
∵θ∈(
5π
4
，
13π
4
)，∴
5π
8
＜
θ
2
＜
13π
8
，
∴
π
2
＜
θ
2
-
π
8
＜
3π
2
，即cos（
θ
2
-
π
8
）＜0，
∴由①得cos（
θ
2
-
π
8
）=-
10
4
．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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