Question

7．在正四面体S-ABC中，若点E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF、SA的夹角大小为45°．

Answer 1

分析 取AC中点O，连结OF、OE，则∠FEO是异面直线EF、SA的夹角（或为夹角的补角），由此能求出异面直线EF、SA的夹角大小．

解答 解：取AC中点O，连结OF、OE，
∵在正四面体S-ABC中，若点E、F分别为SC、AB的中点，
∴OF∥BC，OE∥SA，∴∠FEO是异面直线EF、SA的夹角（或为夹角的补角），
设正四面体S-ABC的棱长为a，
则OF=OE=$\frac{a}{2}$，CF=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴cos∠FEO=$\frac{E{F}^{2}+{OE}^{2}-O{F}^{2}}{2×EF×OE}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{a}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠FEO=45°．
∴异面直线EF、SA的夹角大小为45°．
故答案为：45°．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．