题目内容

椭圆

的两焦点分别为F₁、F₂，以F₁、F₂为边作等边三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（）
A．

B．

C．

D．

【答案】分析：由△PF₁F₂为正三角形可得∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=60°，则可求直线PF₁，PF₂的斜率，进而可求所在的直线方程，其交点，而PF₁中点M在椭圆上，代入椭圆的方程，结合b²=a²-c²及0＜e＜1可求
解答：解：由△PF₁F₂为正三角形可得∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=60°
则直线PF₁，PF₂的斜率分别为

，-

则直线PF₁，PF₂所在的直线方程分别为y=

，y=

，
其交点P（0，

c），而PF₁中点M（

，

）在椭圆上，代入椭圆的方程可得

整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
两边同时除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴

，

（舍）
∴

故选：B

点评：本题主要考查了利用直线与椭圆的相交关系的应用，椭圆离心率的求解，解题的关键是要题目中的三角形得到直线的斜率进而求出直线方程．

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（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C₁：y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点
（1）证明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C₂过A、B两点，求曲线C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C₂的两焦点分别为F₁、F₂，线段AB上有两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F₁ F₂上是否存在一点P，使PD=

，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

= 1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且

，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

=1（a＞b＞0）的上下焦点分别为F₁，F₁，短轴两个端点为P，P₁，且四边形F₁PF₂P₁是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）设△ABC，AC=2

=1（a＞b＞0）在x轴上方的顶点，当AC在直线y=-1上运动时，求△ABC外接圆的圆心Q的轨迹E的方程；
（3）过点F（0，

）作互相垂直的直线l₁l₂，分别交轨迹E于M，N和R，Q．求四边形MRNQ的面积的最小值．

若椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且 $数学公式$ ，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且

，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．