Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

= 1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且

AC

=2

CB

，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由c+

b

2

=3（c-

b

2

），能够求出椭圆的离心率．
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AC

=2

CB

，知2y₂+y₁=0，由

x=ky-1 x2+2y2=2b2

，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程．

解答：解：（1）由题意知，c+

b

2

=3（c-

b

2

），…（2分）
∴b=c，
∴a²=2b²，…（3分）
∴e=

c

a

=

1-( b a )2

=

2

2

．…（5分）
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AC

=2

CB

，
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①…（7分）
由（1）知，a²=2b²，∴椭圆方程为x²+2y²=2b²，
由

x=ky-1 x2+2y2=2b2

，消去x，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，
∴y1+y2=

2k

k2+2

，…②
y1y2=

1-2b2

k2+2

，…③
由①②知，y2=-

2k

k2+2

，y1=

4k

k2+2

，…（9分）
∵S△AOB=

1

2

|y1|+

1

2

|y2|=

1

2

|y1-y2|，
∴S=3•

|k|

k2+2

=3•

1

2 |k| +k

≤3•

1

2 2 |k| •|k|

=

3 2

4

，…（11分）
当且仅当|k|²=2，即k=±

2

时取等号，
此时直线的方程为x=

2

y-1或x=

2

y-1．…（12分）
又当|k|²=2时，y1y2=

-2k

k2+2

•

4k

k2+2

=-

2k2

(k2+2)2

=-1，
∴由y1y2=

1-2b2

k2+2

，得b²=

5

2

，
∴椭圆方程为

x2

5

+

y2

5 2

=1．…（14分）

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．