题目内容

若椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且 $数学公式$ ，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

解：（1）由题意知，c+ $\text{[math]}$ =3（c- $\text{[math]}$ ），…（2分）
∴b=c，
∴a²=2b²，…（3分）

∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（5分）
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵ $\text{[math]}$ ，
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①…（7分）
由（1）知，a²=2b²，∴椭圆方程为x²+2y²=2b²，
由 $\text{[math]}$ ，消去x，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，
∴ $\text{[math]}$ ，…②
$\text{[math]}$ ，…③
由①②知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（9分）
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S=3• $\text{[math]}$ =3• $\text{[math]}$ ≤3• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…（11分）
当且仅当|k|²=2，即k= $\text{[math]}$ 时取等号，
此时直线的方程为x= $\text{[math]}$ 或x= $\text{[math]}$ ．…（12分）
又当|k|²=2时， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =-1，
∴由 $\text{[math]}$ ，得b²= $\text{[math]}$ ，
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）由c+ $\text{[math]}$ =3（c- $\text{[math]}$ ），能够求出椭圆的离心率．
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，知2y₂+y₁=0，由 $\text{[math]}$ ，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程．
点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．