题目内容

设f（x）=
4x
4x+a
，且f（x）的图象过点（
1
2
，
1
2
）．
（1）求f（x）表达式；
（2）计算f（x）+f（1-x）；
（3）试求f（
1
2011
）+f（
2
2011
）+f（
3
2011
）+…+f（
2009
2011
）+f（
2010
2011
）的值．
分析：（1）根据f（x）=
4x
4x+a
的图象过点（
1
2
，
1
2
），求得a的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）化简f（x）+f（1-x）=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
，变形可得答案．
（3）要求的式子即[f（
1
2011
）+f（
2010
2011
）]+[f（
2
2011
）+f（
2009
2011
）]+…+[f（
1005
2011
）+f（
1006
2011
）]，再利用（2）的结论求得结果．
解答：解：（1）∵f（x）=
4x
4x+a
，且f（x）的图象过点（
1
2
，
1
2
），
可得
2
2+a
=
1
2
，解得a=2，∴f（x）=
4x
4x+2
．
（2）f（x）+f（1-x）=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
=
4x
4x+2
+
4
4+2•4x
=1．
（3）f（
1
2011
）+f（
2
2011
）+f（
3
2011
）+…+f（
2009
2011
）+f（
2010
2011
）
=[f（
1
2011
）+f（
2010
2011
）]+[f（
2
2011
）+f（
2009
2011
）]+…+[f（
1005
2011
）+f（
1006
2011
）]
=1005×1=1005．
点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）=
4x
4x+2
，若0＜a＜1，试求：
（1）f（a）+f（1-a）的值；
（2）f（
1
1001
）+f（
2
1001
）+f（
3
1001
）+…+f（
1000
1001
）的值．
设f（x）=
4x
4x+2
．
（Ⅰ）探究f（a）与f（1-a）的关系；
（Ⅱ）求f(
1
101
)+f(
2
101
)+…+f(
99
101
)+f(
100
101
)的值．
设f(x)=
4x
4x+2
，利用倒序相加法（课本中推导等差数列前n项和的方法），可求得f(
1
2015
)+f(
2
2015
)+f(
3
2015
)+…f(
2014
2015
)的值为
1007
1007
．
设f（x）=
4x
4x+2
，求和：S=f(
1
2 010
)+f(
2
2 010
)+…+f(
2 009
2 010
)．

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