Question

【题目】已知函数与（其中）在上的单调性正好相反，回答下列问题：

（1）对于，，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）令，两正实数、满足，求证：.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）因为，所以（），

①当时，，在上为减函数；

②当时，.

令，得，此时在上为增函数；

令，得，此时在上为减函数；

又因为，则，

①当时，，在上为增函数，由（1）知，可能与单调性相同；

②当时，，

令，得，此时在上为增函数；

令，得，此时在上为减函数.

于是若要与在上的单调性正好相反，

则必须，解得.

∴，. .............................（4分）

所以，函数在上单调递增，上单调递减；

函数在上单调递减，上单调递增.

∴在区间上：

对于函数有，

又，，

∴.

对于函数有,

又，，，

∴，

∴，

..............................（6分）

当，即时，不等式恒成立；

当，即时，不等式恒成立需满足：，

∴.

综上，所求的范围为..............................（8分）

（2）易得，

由，得，

∴，

∴，

∴............................（11分）

令，设，则，

可知在上单调递增，在上单调递减，

∴，

∴...........................（12分）

【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题的求解，导数在研究函数中的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的综合能力．