Question

【题目】由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间消耗氧气（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间消耗氧气（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间消耗氧气（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为（升）.

（1）求关于的函数关系式；

（2）若，求当下潜速度取什么值时，消耗氧气的总量最少.

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，消耗氧气总量最少.

【解析】

试题分析：（1）由题意，下潜过程中消耗氧气（升），返回水面过程中消耗氧气（升），水底作业过程中消耗氧气（升），三者求和即可；（2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性可得时消耗氧气总量最少.

试题解析：（1）由题意，下潜过程用时（单位时间），消耗氧气（升）， ····3分

水底作业过程中消耗氧气（升），

返回水面过程用时（单位时间），消耗氧气（升），

∴消耗氧气总量（升）.·······7分

（2）由（1）知，，∴，·······8分

令得，

在时，，函数单调递减，

在时，，函数单调递增， ·······10分

①当时，函数在上递减，在上递增，

此时，时消耗氧气总量最少，最小值为. ·······12分

②当时，在上递增，·······13分

此时时，消耗氧气总量最少，最小值为. ·······14分