题目内容
19、设f（x）为奇函数，对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2，求f（x）在[-3，3]上的最值．
分析：根据题意先证明单调性，用单调性定义，先设x+y=x1，x=x2，且x1＞x2，y=x1-x2f（x1）-f（x2）=f（x1-x2），
再由x＞0时，f（x）＜0来判断符号，然后利用单调性求得最值．
再由x＞0时，f（x）＜0来判断符号，然后利用单调性求得最值．
解答：解：设x+y=x1，x=x2，且x1＞x2，y=x1-x2
f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x）在定义域上是减函数．
又∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为：f（-3）=6，最小值为：f（3）=-6
f（x1）-f（x2）=f（x1-x2）＜0
∴f（x）在定义域上是减函数．
又∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为：f（-3）=6，最小值为：f（3）=-6
点评：本题考查的是抽象函数，涉及到其单调性和最值，解决这类问题关键是利用好条件，将问题转化到函数性质的定义上去应用．
练习册系列答案
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设f（x）为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为（ ）
| A、（-1，0）∪（2，+∞） | B、（-∞，-2）∪（0，2） | C、（-∞，-2）∪（2，+∞） | D、（-2，0）∪（0，2 |