Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=-15，且a₁+1，a₂+1，a₄+1成等比数列，公比不为1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，根据a₁+1，a₂+1，a₄+1成等比数列，可得$（{a}_{2}+1）^{2}$=（a₁+1）（a₄+1），又S₃=-15，可得$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=3a₂=-15，解得a₂，进而得到d．即可得出a_n．
（2）由（1）可得：S_n=-n²-2n．可得b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=-$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=-$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+1，a₂+1，a₄+1成等比数列，∴$（{a}_{2}+1）^{2}$=（a₁+1）（a₄+1），
又S₃=-15，∴$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=-15，∴a₂=-5．
∴（-5+1）²=（-5-d+1）（-5+2d+1），解得d=0或d=-2．
d=0时，公比为1，舍去．
∴d=-2．
∴a_n=a₂-2（n-2）=-5-2（n-2）=-2n-1．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（-3-2n-1）}{2}$=-n²-2n．
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=-$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=-$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$-\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=-$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=-$\frac{3}{4}$+$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．