Question

7．设函数f（x）=asinωx+bcosωx+1（ab≠0，ω＞0）的周期为π，f（x）有最大值4，且f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+1，求a、b的值．

Answer 1

分析 由题意结合周期性可得ω，进而由最值和已知式子可得ab的方程组，解方程组验证即可．

解答 解：∵函数f（x）=asinωx+bcosωx+1的周期为π，f（x）有最大值4，
∴$\frac{2π}{ω}$=π且$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+1=4，解得ω=2，a²+b²=9，①
又∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+1，∴asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+1=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+1，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$b=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，②
联立①②可解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=0}\end{array}\right.$，
由ab≠0可知a、b的值分别为$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值以及方程组的解法，属中档题．