Question

若不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数m的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由题意可得：原不等式恒成立转化为不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0对于一切正数x，y恒成立，即不等式（2m-1）(

x

y

)2-2•

x

y

+m≥0对于一切正数x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有关知识解决问题即可．

解答：解：由题意可得：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2m-1）(

x

y

)2-2•

x

y

+m≥0对于一切正数x，y恒成立，
设t=

x

y

，则有t＞0，
所以（2m-1）t²-2t+m≥0对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
设f（t）=（2m-1）t²-2t+m，（t＞0），
①m=

1

2

时，显然不符合题意，故舍去．
②当m≠

1

2

时，函数的对称轴为t₀=

1

2m-1

，
所以由题意可得：

2m-1＞0 △=4-4(2m-1)m≤0

，解得m≥1．
故答案为1．

点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想以及整体代换的技巧．