Question

（2013•梅州一模）若不等式x²+2xy≤a（x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A．2
• B．

  2 +1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  5 +1

  2

Answer 1

分析：x²+2xy≤a（x²+y²）?2xy≤（a-1）x²+ay²?（a-1）(

x

y

)2-2×

x

y

+a≥0对于一切正数x，y恒成立，依题意，令f（t）=（a-1）t²-2t+a，列不等式组

a-1＞0 f( 1 a-1 )≥0

，解之即可得答案．

解答：解：∵x＞0，y＞0，
∴x²+2xy≤a（x²+y²））?2xy≤（a-1）x²+ay²?（a-1）(

x

y

)2-2×

x

y

+a≥0，
令t=

x

y

（t＞0），f（t）=（a-1）t²-2t+a，
依题意，

a-1＞0 f( 1 a-1 )≥0

即

a＞1 a- 1 a-1 ≥0

，解得a≥

5 +1

2

．
∴实数a的最小值为

5 +1

2

．
故选D．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化与构造函数思想，考查解不等式组的能力，属于难题．