Question

若不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A．2
• B．

  2 +1

  2

• C．

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：不等式整理为（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0对于一切正数x，y恒成立，换元，再分离参数，求出函数的最值，即可求得结论．

解答：解：由题意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0对于一切正数x，y恒成立，
令t=

x

y

，则有t＞0，所以（2a-1）t²-2t+a≥0对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥

t2+2t

2t2+1

对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
令f（t）=

t2+2t

2t2+1

，则f′（t）=

-2(t-1)(2t+1)

(2t2+1)2

∴t∈（0，1）时，f′（t）＞0，函数单调递增，t∈（1，+∞）时，f′（t）＜0，函数单调递减
∴t=1时，函数取得最大值1
∴a≥1
∴实数a的最小值为1
故选D

点评：本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．