Question

7．已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x-1．
（I）当x∈[-1，m]（m＞-1）时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）x∈[a，b]，函数的值域为[$\frac{1}{2}$，2]，求实数a，b满足的条件．

Answer 1

分析 （I）根据函数奇偶性的，利用对称性求出函数f（x）的解析式，利用函数的单调性，结合函数的图象即可当x∈[-1，m]（m＞-1）时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）根据函数值域，求出函数值对应的变量，结合函数的值域建立条件关系即可得到结论．

解答 解：（I）若x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=2^-x-1．
∵函数y=f（x）是偶函数，
∴f（-x）=2^-x-1=f（x），
即f（x）=2^-x-1，x＜0．
当x=-1时，f（-1）=2⁰=1，
当x≥0时，由f（x）=2^x-1=1，得x-1=0，解得x=1，
当-1＜m＜0时，函数f（x）的最大值为f（-1）=1，最小值为f（m）=2^-m-1，此时值域为[2^-m-1，1]，
当0≤m≤1时，函数f（x）的最大值为f（-1）=1，最小值为f（0）=$\frac{1}{2}$，此时值域为[$\frac{1}{2}$，1]，
当m＞1时，函数f（x）的最大值为f（m）=2^m-1，最小值为f（0）=$\frac{1}{2}$，此时值域为[$\frac{1}{2}$，2^m-1]；
（Ⅱ）f（0）=$\frac{1}{2}$，由2^x-1=2，得x-1=1，即x=2，由2^-x-1=2，得-x-1=1，即x=-2，
若x∈[a，b]，函数的值域为[$\frac{1}{2}$，2]，
则0∈[a，b]，且a=-2，或b=2，
若a=-2，则0≤b≤2，
若b=2，则-2≤a≤0．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数值域的求解，利用函数图象结合函数单调性的性质是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．