Question

长方形中，，．以的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．

(1) 求以、为焦点，且过、两点的椭圆的标准方程；

(2) 过点的直线交(1)中椭圆于两点，是否存在直线，使得以线段为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

(1) ；(2) 存在过的直线:，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得点的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知，求得，进而根据和的关系求得，则椭圆的方程可得；（2）设直线的方程为．与椭圆方程联立，设两点坐标分别为．根据韦达定理求得和，进而根据若以为直径的圆恰好过原点，推断则，得知，根据求得代入即可求得，最后检验看是否符合题意．

(1)由题意可得点的坐标分别为．

设椭圆的标准方程是.

，．

.

椭圆的标准方程是

(2) 由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.

联立方程,消去整理得．

设两点的坐标分别为

∴．

若以为直径的圆恰好过原点,则,所以，

所以,，即．

所以，即

得满足，

所以直线的方程为,或.

故存在过的直线:使得以弦为直径的圆恰好过原点．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线的一般式方程；3、直线与圆相交的性质；4、直线与圆锥曲线的综合问题．