Question

已知f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，g（x）=f（x-2）+

1

3

．当x∈[-2，0）∪（0，2]时，g（x）=

1

2|x|-1

，g（0）=0，则方程g（x）=log 

1

2

（x+1）的解的个数为（　　）

• A、0
• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知，g（x）的定义域为x∈[-2，6]，利用f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，且g（x）=f（x-2）+

1

3

，通过转化可以再求出x∈[2，6]时解析式，便确定了g（x），最后结合函数大致图象得出交点个数，即为方程解的个数．

解答： 解：∵f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，由x-2∈[-4，4]，得g（x）的定义域为x∈[-2，6]．
∵当x∈[-2，0）∪（0，2]时，g（x）=

1

2|x|-1

，f（x-2）=g（x）-

1

3

=

1

2|x|-1

-

1

3

，
当x=0时，g（x）=0，f（x-2）=g（x）-

1

3

=-

1

3

，
当x-2∈[-4，0]，当x∈[2，6]时，2-x∈[-4，0]，
当x∈[2，4）∪（4，6]时，g（x）=-f（2-x）+

1

3

=-

1

2|4-x|-1

+

1

3

，
当x=4时，g（x）=0，
在同一坐标系中画出函数g（x）和函数y=log 

1

2

（x+1）的图象如图所示：

由两个函数图象共有4个交点，
故方程g（x）=log 

1

2

（x+1）的解的个数为4个，
故选：C

点评：本题考查函数的奇偶性的应用，分段函数，考查转化、计算、分类讨论、函数与方程的思想方法和能力．