题目内容

在数列{an}中，Sn为其前n项和，满足Sn＝kan＋n2－n，(k∈R，n∈N*)．

(Ⅰ)若k＝1，求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{an－2n－1}为公比不为1的等比数列，且k＞1，求Sn．

答案：
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如果由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n∈N*均有bn+1＜bn，其中bn=an+1-an，则称数列{an}为“Z数列”．
（Ⅰ）在数列{an}中，已知an=-n2，试判断数列{an}是否为“Z数列”；
（Ⅱ）若数列{an}是“Z数列”，a1=0，bn=-n，求an；
（Ⅲ）若数列{an}是“Z数列”，设s，t，m∈N*，且s＜t，求证：at+m-as+m＜at-as．
（1）若对于任意的n∈N*，总有
n+2
n(n+1)
=
A
n
+
B
n+1
成立，求常数A，B的值；
（2）在数列{an}中，a1=
1
2
，an=2an-1+
n+2
n(n+1)
（n≥2，n∈N*），求通项an；
（3）在（2）题的条件下，设bn=
n+1
2(n+1)an+2
，从数列{bn}中依次取出第k1项，第k2项，…第kn项，按原来的顺序组成新的数列{cn}，其中cn=bkn，其中k1=m，kn+1-kn=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使
lim
n→+∞
(c1+c2+…+cn)=S且
4
61
＜S＜
1
13
成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．
下列几种推理过程是演绎推理的是（　　）
记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+
2
，S3=12+3
2
．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）记bn=an-
2
，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比数列，其中n1=1，n2=3，求nk（用k表示）；
（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

(本小题满分16分)记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．

（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

（2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）；

（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

 

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