Question

（1）若对于任意的n∈N^*，总有

n+2

n(n+1)

=

A

n

+

B

n+1

成立，求常数A，B的值；
（2）在数列{a_n}中，a1=

1

2

，an=2an-1+

n+2

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*），求通项a_n；
（3）在（2）题的条件下，设bn=

n+1

2(n+1)an+2

，从数列{b_n}中依次取出第k₁项，第k₂项，…第k_n项，按原来的顺序组成新的数列{c_n}，其中cn=bkn，其中k₁=m，k_n+1-k_n=r∈N^*．试问是否存在正整数m，r使

lim

n→+∞

(c1+c2+…+cn)=S且

4

61

＜S＜

1

13

成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设得（A+B）n+A=n+2恒成立，所以

A+B=1 A=2

?A=2，B=-1．
（2）由an=2an-1+

n+2

n(n+1)

（n≥2）和

n+2

n(n+1)

=

2

n

-

1

n+1

知，an+

1

n+1

=2an-1+

2

n

=2(an-1+

1

n

)，且a1+

1

2

=1，由此能推导出an=2n-1-

1

n+1

．
（3）假设存在正整数m，r满足题设，由an=2n-1-

1

n+1

，bn=

n+1

2(n+1)an+2

=

1

2n

，又cn=bkn得

cn+1

cn

=

bkn+1

bkn

=(

1

2

)kn+1-kn=

1

2r

，c1=bk1=

1

2m

．于是S=

lim

n→+∞

(c1+c2++cn)=

1 2m

1- 1 2r

=

1

2m-2m-r

，由此能推导出存在正整数m，r满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．

解答：解：（1）由题设得A（n+1）+Bn=n+2即（A+B）n+A=n+2恒成立，
所以

A+B=1 A=2

?A=2，B=-1．（4分）
（2）由题设an=2an-1+

n+2

n(n+1)

（n≥2）又

n+2

n(n+1)

=

2

n

-

1

n+1

得，an+

1

n+1

=2an-1+

2

n

=2(an-1+

1

n

)，且a1+

1

2

=1，
即{an+

1

n+1

}是首项为1，公比为2的等比数列，（8分）
所以an+

1

n+1

=2n-1．即an=2n-1-

1

n+1

为所求．（9分）
（3）假设存在正整数m，r满足题设，由（2）知an=2n-1-

1

n+1

显然bn=

n+1

2(n+1)an+2

=

1

2n

，
又cn=bkn得

cn+1

cn

=

bkn+1

bkn

=(

1

2

)kn+1-kn=

1

2r

，
c1=bk1=

1

2m

即{c_n}是以

1

2m

为首项，

1

2r

为公比的等比数列．（11分）
于是S=

lim

n→+∞

(c1+c2++cn)=

1 2m

1- 1 2r

=

1

2m-2m-r

，（12分）
由

4

61

＜S＜

1

13

得13＜2m-2m-r＜

61

4

，m，r∈N^*，
所以2^m-2^m-r=14或15，（14分）
当2^m-2^m-r=14时，m=4，r=3；
当2^m-2^m-r=15时，m=4，r=4；
综上，存在正整数m，r满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．（16分）

点评：本题考查数列中参数的求法、等差数列的通项公式和以极限为载体考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．