题目内容

17．已知横坐标为$\sqrt{t}$的点P在曲线C：y=$\frac{1}{x}$（x＞1），曲线C在点P处的切线y-$\frac{1}{\sqrt{t}}$=$-\frac{1}{t}$（x-$\sqrt{t}$）与直线y=4x交于A，与x轴交于点B．设点A，B的横坐标分别为xA，xB，记f（t）=xA•xB，正数数列{an}满足an=f（an-1）（n∈N*，n≥2），a1=a．
（1）写出an，an-1之间的关系式．
（2）若数列{an}为递减数列，求实数a的取值范围；
（3）若a=2，bn=an$-\frac{3}{4}$，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜$\frac{3}{2}$（n∈N*）

分析 （1）根据题意，联立求解，求出f（t）=xA•xB=$\frac{4t}{4t+1}$，得出结果；
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$，构造$\frac{1}{{a}_{n}}$+x=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+x），得出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}为q=$\frac{1}{4}$的等比数列，首项为$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$
，从而得出a的范围；
（3）根据题意求出bn=$\frac{15}{4（8•{4}^{n}-5）}$，利用放缩法得出bn＞$\frac{15}{2•{4}^{n+2}}$=$\frac{15}{32}•（\frac{1}{4}）^{n}$，最后得出结论．

解答 解：（1）∵y-$\frac{1}{\sqrt{t}}$=$-\frac{1}{t}$（x-$\sqrt{t}$）与y=4x相交
∴xA=$\frac{2\sqrt{t}}{4t+1}$，
令y=0得xB=2$\sqrt{t}$，$\frac{1}{a}$
∴f（t）=xA•xB=$\frac{4t}{4t+1}$
∴an=f（an-1）=$\frac{4{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$；
（2）
∵an=$\frac{4{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$
设$\frac{1}{{a}_{n}}$+x=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+x），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$-$\frac{3}{4}x$，
∴x=$-\frac{4}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}为q=$\frac{1}{4}$的等比数列，首项为$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$
∴使数列{an}为递减数列，且为正数数列{an}
∴$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$＞0，
∴0＜a＜$\frac{3}{4}$；
（3）由（2）知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}为q=$\frac{1}{4}$的等比数列，首项为-$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$=-$\frac{5}{6}$×（$\frac{1}{4}$）n-1
∴an=$\frac{6×{4}^{n-1}}{8×{4}^{n}-20}$，
∴bn=$\frac{15}{8×{4}^{n}-20}$，
∵bn＞$\frac{15}{8×{4}^{n}}$=$\frac{15}{8}$×$\frac{1}{{4}^{n}}$，
${{s}_{n}}^{′}$=$\frac{15}{8}$×$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{4}×\frac{1}{{4}^{n}}$＜$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{n＜}\frac{3}{2}$．

点评 考查了函数和数列的综合应用和放缩法的应用，难度较大．

练习册系列答案
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7．已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
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8．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为0．
5．给出下面的四个命题：
①函数$y=|{sin（{2x+\frac{π}{3}}）}|$的最小正周期是$\frac{π}{2}$
②函数$y=sin（{\frac{π}{3}-2x}）$在区间$[{0，\frac{π}{3}}）$上单调递减
③$x=\frac{5π}{4}$是函数$y=sin（{2x+\frac{5π}{6}}）$的图象的一条对称轴．
④函数$f（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{5}）$，若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为2π
其中正确的命题个数（　　）
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（2）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=y$\overrightarrow{AC}$，求证：$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=3．
6．已知全集为R，集合M={x||x-3|＜2}，集合N={x|ln（x-2）＞0}，则M∩（∁RN）=（　　）
A．（3，5）B．[3，5）C．（1，3）D．（1，3]
7．定义在R上的函数y=f（x），对任意不等的实数x1，x2都有[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＜0成立，又函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0成立，则当1≤x≤4时，$\frac{y}{x}$的取值范围是（-1，1]．

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