Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

 (1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC．

由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．

又PD∩DC＝D，

PD，DC 平面PCD，

∴ BC⊥平面PCD．

∵ PC 平面PCD，故PC⊥BC．

(2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF，

则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，

由(1)知，BC⊥平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD．

∵ PD＝DC，PF＝FC，∴ DF⊥PC．

又 ∴ 平面PBC∩平面PCD＝PC，

∴ DF⊥平面PBC于F．

易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．

(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．

∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°．

由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S_△ABC＝1．

由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积

V＝S_△ABC·PD＝．

∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC．

又 ∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．

由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S_△PBC＝．

∵ V_{A - PBC}＝V_{P - ABC}，∴ S_△PBC·h＝V＝，得h＝．

故点A到平面PBC的距离等于．