题目内容

15．如图，A，B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个顶点，|AB|=$\sqrt{5}$，直线AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，M是椭圆C长轴上的一个动点，设点M（m，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=-2y+m与与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D．证明：△OCM的面积等于△ODN的面积．
（3）在（Ⅱ）的条件下证明：|CM|2+|MD|2为定值．

分析 （Ⅰ）利用|AB|=$\sqrt{5}$，直线AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）直接利用两点间的距离公式结合根与系数的关系证明．

解答 （Ⅰ）解：∵A、B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个顶点，且|AB|=$\sqrt{5}$，直线AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，
由A（a，0），B（0，b），得|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{5}$，
又k=$\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，解得a=2，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）证明：直线l的方程为x=-2y+m，即y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{m}{2}$，将其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，消去y，
整理得2x2-2mx+m2-4=0．
设C（x1，y1），D（x2，y2）．
∴x1+x2=m，x1x2=$\frac{1}{2}$m2-2．
记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．
由题意M（m，0），N（0，$\frac{m}{2}$），
∵x1+x2=m，∴|2y1|=|2（-$\frac{1}{2}$x1+$\frac{m}{2}$）|=|-x1+m|=|x2|，
∵S△OCM=$\frac{1}{2}$|m||y1|，S△ODN=$\frac{1}{2}$|$\frac{m}{2}$||x2|．    
∴△OCM的面积等于△ODN的面积；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，M（m，0），x1+x2=m，x1x2=$\frac{1}{2}$m2-2，
∴|CM|2+|MD|2=$（{x}_{1}-m）^{2}+{{y}_{1}}^{2}+（{x}_{2}-m）^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=${{x}_{1}}^{2}-2m{x}_{1}+{m}^{2}+（-\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{m}{2}）^{2}$+${{x}_{2}}^{2}-2m{x}_{2}+{m}^{2}+（-\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{m}{2}）^{2}$
=$\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-\frac{5}{2}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{5}{2}m（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{5}{2}{m}^{2}$=$\frac{5}{4}{m}^{2}-\frac{5}{2}（\frac{1}{2}{m}^{2}-2）-\frac{5}{2}{m}^{2}+\frac{5}{2}{m}^{2}$=5．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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