Question

7．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E为BB₁的中点，AA₁=2AB．
（1）求证：平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA；
（2）求二面角A₁-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中点F，连A₁C交AC₁于O，连OE，OF，证明OEBF是平行四边形，可得BF∥OE，证明BF⊥平面A₁C₁CA，可得OE⊥平面A₁C₁CA，即可证明平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA；
（2）求出平面AEC、平面AEA₁的法向量，即可求二面角A₁-AE-C的余弦值．

解答 （1）证明：取AC中点F，连A₁C交AC₁于O，连OE，OF，则OF∥CC₁，OF=$\frac{1}{2}$CC₁，
∵E为BB₁的中点，∴EB∥CC₁，EB=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴OF∥BE，OF=BE
∴OEBF是平行四边形，
∴BF∥OE．
∵BF⊥AC，BF⊥AA₁，AC∩AA₁=A，
∴BF⊥平面A₁C₁CA，
∴OE⊥平面A₁C₁CA，
∵OE?平面AEC₁，
∴平面AEC₁⊥平面A₁C₁CA；
（2）解：建立如图所示坐标系，设AB=2，则A（-1，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，2），C（1，0，0），A₁（-1，0，4），
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{AE}$=（1，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y+2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，∴平面AEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，2，$\sqrt{3}$）
同理平面AEA₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，0），
所以，二面角A₁-AE-C的余弦值为$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角A₁-AE-C的余弦值，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．