Question

10．有一个几何体的三视图如图所示，它的外接球的体积为$\frac{64\sqrt{2}π}{3}$．

Answer 1

分析 由三视图可知该几何体为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，利用对应的三棱柱确定外接球球心的位置，并求出球的半径，利用球的体积积公式求解．

解答 解：由三视图知该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，
且PE⊥平面ABC，E、F、O分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是4的正方形，
∵AE=ED=PE=2，∴PA⊥PD，则E是△PAD外接圆的圆心，
由图可得，四棱锥P-ABCD的外接球是直三棱柱的外接球，
∴外接球的球心是O，则OP=OC=OA=OB=OD=2$\sqrt{2}$，
∴几何体的外接球的体积S=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}$π×$（2\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{64\sqrt{2}π}{3}$．
故答案为：$\frac{64\sqrt{2}π}{3}$．

点评 本题考查了四棱锥与三棱柱的外接球的性质及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．