Question

17．已知：tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的两个实根，α、β∈（0，180°）．
（1）求α+β的值．
（2）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由韦达定理得tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，由此利用正切加法公式能求出α+β的值．
（2）解方程x²-5x+6=0，得tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，由此利用同角三角函数及余弦函数加法定理能求出结果．

解答 解：（1）∵tanα和tanβ是方程x²-5x+6=0的两个根，
∴可得tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{5}{1-6}$=-1．
∵tanα＞0，tanβ＞0，α、β∈（0°，180°），可得：α，β∈（0°，90°），α+β∈（0°，180°），
∴α+β=135°．
（2）解方程x²-5x+6=0，得x₁=2，x₂=3，
∴tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，
当tanα=2，tanβ=3时，α，β都是第1象限角，
sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
当tanα=3，tanβ=2时，α，β都是第1象限角，
sinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴cos（α-β）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查两角和的求法，考查余弦函数的求法，解题时要认真审题，注意正切加法定理和余弦加法定理的合理运用，属于中档题．