Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；

（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC，故而DE平面ACD，从而得证面面垂直；

（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.

（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，

∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，

∴BC⊥平面ACD，

∵DC∥EB，DC＝EB，

∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，

∴DE⊥平面ACD，

又DE平面ADE，

∴平面ACD⊥平面ADE.

（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，

以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：

则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），

∴（﹣2，2，0），（0，0，1），（0，2，0），（2，0，﹣1），

设平面DAE的法向量为（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为（x2，y2，z2），

则，，即，，

令x1＝1得（1，0，2），令x2＝1得（1，1，0）.

∴cos.

∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，

∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为.