Question

【题目】已知非常数的整系数多项式满足.①证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

式①等价于

. ②

在式②中分别令，，，.

则.

再在式②中令.则.

故、、0、1及是的根.则

， ③

其中，为实系数多项式.

由式③得. ④

将式③、④代入式②得.

设.则.

考虑两边次项系数知.

所以，为常数.

故，其中，常数.

首先证明：至少有四个不同的质因数.

否则，至多有三个不同的质因数2、3、.但、、、两两之间的最大公因数为1、2、3，其中两个奇数互质，则为、.从而，两个偶数为、.故.解得.

因此，这两个偶数为8、6或16、18.前者不符，后者得到另两个奇数为15、17或17、19，均导致矛盾.

其次，假设存在某个正整数，使得的每个质因数都是的质因数，且恰有四个质因数，否则，结论成立.

显然，.

由,知或3，或7.故.

但9|不能，故，则.

由假设知、、、的质因数为2、3、7、.则.

考虑其中两个偶数、两个奇数的质因数集合、.显然，，，.

故或且.

若或，则两个偶数为、或、，得或.

故这两个偶数为16、18或16、14.前者得7 |（n+2）不能；后者使有质因数2、3、5、7及13(或17），矛盾.

若，则为奇数，为偶数.

由.

故，，且 .

从而，.

于是，.则，矛盾.

若，则，且为偶数，.

故.

从而，，， .

于是，，矛盾.

若，则，且为奇数，.故.

但，则的奇质因数不是3、7，矛盾.