Question

已知函数f（x）=2x+

2

x

+alnx，a∈R．若函数f（x）在[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围？

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：通过已知条件，求出函数的导数，转化导数大于等于0恒成立，得到a的表达式，求出a的最小值即可．

解答： 解：由函数f（x）=alnx+2x+

2

x

，
得f′（x）=

a

x

+2-

2

x2

，
若函数f（x）为[1，+∞）上的单调增函数，
则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式

a

x

+2-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立．
又g（x）=

2

x

-2x在[1，+∞）上为减函数，
g（x）_max=g（1）=0．
∴a≥0．

点评：本题考查函数与导函数的关系，函数的单调性与导数的关系，通过函数的导数求解函数极值，考查转化思想与计算能力．