题目内容
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，
（Ⅰ）求证：EF∥面A1C1B．
（Ⅱ）求B1D与平面A1C1B所成的角度数．
（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角．
（3）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是多少？
（Ⅰ）求证：EF∥面A1C1B．
（Ⅱ）求B1D与平面A1C1B所成的角度数．
（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角．
（3）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是多少？
分析：（1）（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，欲证EF∥面A1C1B，只需证明EF平行于平面A1C1B内的一条直线，利用空间向量证明
与
是平行向量，即可证明EF∥A1C1，而A1C1是平面A1C1B内的一条直线，所以EF∥面A1C1B．
（Ⅱ）欲求B1D与平面A1C1B所成的角，只需证明DB1⊥平面BA1C1，则B1D与平面A1C1B所成的角为90°，利用空间向量证明
DB1⊥平面BA1C1，先求出
，以及平面A1C1B中两个向量
，
，用计算
•
，
•
，都等于0，即可证明DB1⊥平面BA1C1，求出B1D与平面A1C1B所成的角的度数．
（2）欲求异面直线EF与GH所成的角，只需求出向量
，
的夹角，再结合异面直线所成角的范围判断异面直线EF与GH所成的角应为向量
，
夹角的补角．
（3）先求出平面ABC1D1的法向量，再求出正方体各面的法向量，平面ABC1D1的法向量与正方体各面的法向量所成角即为平面ABC1D1与正方体的各个面所成二面角的大小．
| EF |
| A1C1 |
（Ⅱ）欲求B1D与平面A1C1B所成的角，只需证明DB1⊥平面BA1C1，则B1D与平面A1C1B所成的角为90°，利用空间向量证明
DB1⊥平面BA1C1，先求出
| DB1 |
| A1C1 |
| BA1 |
| DB1 |
| A1C1 |
| DB1 |
| BA1 |
（2）欲求异面直线EF与GH所成的角，只需求出向量
| EF |
| GH |
| EF |
| GH |
（3）先求出平面ABC1D1的法向量，再求出正方体各面的法向量，平面ABC1D1的法向量与正方体各面的法向量所成角即为平面ABC1D1与正方体的各个面所成二面角的大小．
解答：解：设正方体棱长为1，如图建立空间直角坐标系
，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）
（1）（Ⅰ）∵E（1，
，0），F（
，1，0），∴
=（-
，
，0），
∵
=（-1，1，0），∴
=
，∴EF∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1B，∴EF∥面A1C1B
（Ⅱ）∵
=（1，1，1），
=（-1，1，0），
=（0，-1，1）
∴
•
=-1×1+1×1+1×0=0，
•
=-1×1+1×1+1×0=0
∴DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B，A1C1∩A1B=A1，
∴DB1⊥平面BA1C1，
∴B1D与平面A1C1B所成的角度数为90°
（2）∵E（1，0，
），F（（1，
，0），G（1，1，
），H（
，1，1）
∴
=（0，
，-
），
=（-
，0，
）
∵cos＜
，
＞=
=
=-
∴＜
，
＞=120°，异面直线所成的角范围为（0，
）
∴异面直线EF与GH所成的角为60°
（3）∵DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
∴DA1⊥平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1的法向量为
=（1，0，1）
由正方体的性质可知：平面ABCD的法向量为
=（0，0，1）；
平面AD1的法向量为
=（0，1，0）；平面CD1的法向量为
=（1，0，0）；
cos＜
，
＞=
，cos＜
，
＞=0，cos＜
，
＞=
，
∴平面ABC1D1与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是45°，90°，45°
，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）（1）（Ⅰ）∵E（1，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| EF |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵
| A1C1 |
| EF |
| 1 |
| 2 |
| A1C1 |
∵A1C1?平面A1C1B，∴EF∥面A1C1B
（Ⅱ）∵
| DB1 |
| A1C1 |
| BA1 |
∴
| DB1 |
| A1C1 |
| DB1 |
| BA1 |
∴DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B，A1C1∩A1B=A1，
∴DB1⊥平面BA1C1，
∴B1D与平面A1C1B所成的角度数为90°
（2）∵E（1，0，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| EF |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| GH |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵cos＜
| EF |
| GH |
| ||||
|
|
-
| ||||||||
|
| 1 |
| 2 |
∴＜
| EF |
| GH |
| π |
| ，2 |
∴异面直线EF与GH所成的角为60°
（3）∵DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
∴DA1⊥平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1的法向量为
| DA1 |
由正方体的性质可知：平面ABCD的法向量为
| DD1 |
平面AD1的法向量为
| DC |
| DA |
cos＜
| DA1 |
| DD1 |
| ||
| 2 |
| DA1 |
| DC |
| DA1 |
| DA |
| ||
| 2 |
∴平面ABC1D1与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是45°，90°，45°
点评：本题主要考查了在正方体中，线面平行的证明，异面直线所成角，线面角，二面角的计算，考查了学生的空间想象能力，转换能力，识图能力以及计算能力．
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
则 （ ）