题目内容

.数列{a_n}满足a_n＞0，前n项和 $数学公式$ ．
①求s₁，s₂，s₃；
②猜想{s_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

解：①由S_n= $\text{[math]}$ （a_n+ $\text{[math]}$ ）得S₁= $\text{[math]}$ （a₁+ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =1，又a₁＞0，
∴S₁=a₁=1，…（2分）
由S₂=a₁+a₂
=1+a₂
= $\text{[math]}$ （a₂+ $\text{[math]}$ ）可得： $\text{[math]}$ +2a₂-1=0，a₂＞0，
∴a₂= $\text{[math]}$ -1，
∴S₂= $\text{[math]}$ ，…（4分）
同理可求a₃= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，S₃= $\text{[math]}$ …（6分）
∴s₁=1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（7分）
猜想S_n= $\text{[math]}$ ，下面用归纳法证明：
（1）当n=1时，s₁=1显然猜想成立．…（9分）
（2）假设n=k时（k≥1）猜想也成立，
即s_k= $\text{[math]}$ …（10分）
当n=k+1时，s_k+1=s_k+a_k+1= $\text{[math]}$ +a_k+1，
又s_k+1= $\text{[math]}$ （a_k+1+ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ +a_k+1= $\text{[math]}$ （a_k+1+ $\text{[math]}$ ），
∴a_k+1= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴s_k+1=s_k+a_k+1= $\text{[math]}$ …（12分）
即n=k+1时猜想也成立．
由①，②得猜想成立．…（13分）
分析：①，由S₁= $\text{[math]}$ （a₁+ $\text{[math]}$ ），a₁＞0可求得S₁，从而可求得a₂，继而可求得S₂，S₃；
②由s₁，s₂，s₃的值可猜得S_n= $\text{[math]}$ ，用数学归纳法证明即可．
点评：本题考查数列的递推公式，考查数学归纳法证明问题，猜得S_n= $\text{[math]}$ 是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．