Question

过椭圆

x2

4

+y2=1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A、B、C、D四点，则四边形ABCD面积的最小值为（　　）

• A、2
• B、

  34

  25

• C、

  33

  25

• D、

  32

  25

Answer 1

分析：由椭圆

x2

4

+y2=1可得a²=4，b²=1，c=

a2-b2

=

3

．分类讨论：
当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b²．
当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AB的方程为y=k(x-

3

)，则直线CD的方程为y=-

1

k

(x-

3

)．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，|CD|．利用四边形ABCD面积S=

1

2

|AB| |CD|即可得到关于斜率k的式子，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：由椭圆

x2

4

+y2=1可得a²=4，b²=1，c=

a2-b2

=

3

．
①当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b²=2．
②当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AB的方程为y=k(x-

3

)，则直线CD的方程为y=-

1

k

(x-

3

)．
联立

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，化为(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0，
∴x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

12k2-4

1+4k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 8 3 k2 1+4k2 )2- 4(12k2-4) 1+4k2 ]

=

4 1+k2

1+4k2

．
把k换成-

1

k

可得|CD|=

4 1+k2

4+k2

．
∴四边形ABCD面积S=

1

2

|AB| |CD|=

1

2

×

4 1+k2

1+4k2

×

4 1+k2

4+k2

=

8(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

≥

8(1+k2)

( 5+5k2 2 )2

=

32

25

．
当且仅当1+4k²=4+k²，即k²=1时取等号．
综上可知：四边形ABCD面积S的最小值是

32

25

．
故选：D．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．