Question

2．已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）求过Q（-3，2）的圆C的切线方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心C的坐标，由圆心M与圆心C关于直线x+y+2=0对称，列出方程组求出圆心C，再求半径r，即可写出圆C的方程；
（2）设过Q的圆C的切线方程为y-2=k（x+3），由圆心C到切线的距离d=r，列出方程求出斜率k，再写出切线方程．

解答 解：（1）设圆心C为（a，b），由圆心M（-2，-2）与圆心C关于直线x+y+2=0对称，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}\right.$，
解得a=0，b=0；
所以圆C的方程为x²+y²=r²，
将点P的坐标代入得r²=2，
所以圆C的方程为x²+y²=2；
（1）求圆C的方程；
（2）设过Q（-3，2）的圆C的切线方程为y-2=k（x+3），
即kx-y+3k+2=0，
则圆心C（0，0）到该切线的距离为d=r，
即$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
化简得7k²+12k+2=0，
解得k=$\frac{-6-\sqrt{22}}{7}$或k=$\frac{-6+\sqrt{22}}{7}$，
所求的切线方程为$\frac{-6-\sqrt{22}}{7}$x-y+$\frac{-4-3\sqrt{22}}{7}$=0，
或$\frac{-6+\sqrt{22}}{7}$x-y+$\frac{-4+3\sqrt{22}}{7}$=0．

点评 本题考查了直线和圆的方程的应用问题，也考查了点到直线的距离公式以及关于直线对称的圆的方程问题，是综合性题目．